Question

已知二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點A（-2，0），與y軸的交點為B（0，4），且其對稱軸與y軸平行．
（1）求該二次函數的解析式，并在所給出坐標系中畫出這個二次函數的大致圖象；
（2）在該二次函數位于A、B兩點之間的圖象上取上點M，過點M分別作x軸、y軸的垂線段，垂足分別為點C、D．求矩形MCOD的周長的最小值和此時點M的坐標．

Answer 1

解：（1）由題意可知點A（-2，0）是拋物線的頂點，
設拋物線的解析式為y=a（x+2）²
∵其圖象與y軸交于點B（0，4），
∴4=4a，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x+2）²．

（2）設點M的坐標為（m，n），
則m＜0，n＞0，n=（m+2）²=m²+4m+4，
設矩形MCOD的周長為L；
則L=2（MC+MD）=2（|n|+|m|）
=2（n-m）
=2（m²+4m+4-m）
=2（m²+3m+4）
=2（m+）²+；
當m=時，L有最小值，此時n=；
∴點M的坐標為（，）．
分析：（1）利用待定系數法求解，由題意可設拋物線的解析式y=a（x+2）²，再將已知的B點坐標代入可求出a，進而得出拋物線的解析式．
（2）設點M的坐標為（m，n），將其代入拋物線的解析式可得出m，n之間的關系式n=m²+4m+4；再由矩形周長公式可得出周長L與m，n之間的二次函數關系式L=2（n-m）；消去n可得出L與m二次函數關系式，利用頂點坐標式可求出結果．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、矩形周長的計算方法、二次函數最值的應用等知識，難度適中．