Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A、B、C的坐標分別為（0,0）、（20,0）、（20,10），在線段AC、AB上各有一動點M、N，則當BM＋MN為最小值時，點M的坐標是 ．

 

 

Answer 1

（12，6）.

【解析】

試題分析：先確定點M、N的位置：作點B關于AC的對稱點B′，過點B′作B′N⊥OB于N，B′N交AC于M．連接OB′，交DC于P，再根據矩形、軸對稱、等腰三角形的性質得出PA=PC，那么在Rt△ADP中，運用勾股定理求出PA的長，然后由cos∠B′ON=cos∠OPD，求出ON的長，由tan∠MON=tan∠OCD，求出MN的長，即可得出點M的坐標．

【解析】
如圖，作點B關于AC的對稱點B′，過點B′作B′N⊥OB于N，B′N交AC于M，則B′N=B′M+MN=BM+MN，B′N的長就是BM+MN的最小值．

連接OB′，交DC于P．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，

∴∠BAC=∠PCA，

∵點B關于AC的對稱點是B′，

∴∠PAC=∠BAC，

∴∠PAC=∠PCA，

∴PA=PC．

令PA=x，則PC=x，PD=20-x．

在Rt△ADP中，∵PA2=PD2+AD2，

∴x2=（20-x）2+102，

∴x=12.5．

∵cos∠B′ON=cos∠OPD，

∴ON：OB′=DP：OP，

∴ON：20=7.5：12.5，

∴ON=12．

∵tan∠MON=tan∠OCD，

∴MN：ON=OD：CD，

∴MN：12=10：20，

∴MN=6．

∴點M的坐標是（12，6）．

故答案為（12，6）．

考點：軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質；矩形的性質．