Question

如圖⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=45°，AD∥OC交BC的延長線于D，AB交OC于E．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若∠ACD=60°，求BC：CD的值．

Answer 1

分析：（1）連接OA，要證明切線，只需證明OA⊥AD，根據AD∥OC，只需得到OA⊥OC，根據圓周角定理即可證明；
（2）連接OB，根據已知的角，結合圓周角定理發現等腰直角三角形AOC和等腰三角形OBE和30度的直角三角形AOE；在根據它們的性質得到BE和AE之間的關系，再根據平行線分線段成比例定理進行求解．

解答：（1）證明：連接OA；（1分）
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA⊥OC；（3分）
又∵AD∥OC，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切線．（5分）

（2）解：連接OB；
在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB的外角∠ACD=60°；（6分）
∴∠CAB=60°-45°=15°，
∵△OAC是等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°，
∴∠BAO=∠CAO-∠CAB=30°；（8分）
∵在Rt△AOE中，∠EAO=∠BAO=30°，
∴OE=

1

2

AE；
∵在△AOB中，OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=30°，∠AOB=120°，
∴∠EOB=∠AOB-∠AOC=120°-90°=∠EBO，（10分）
∴BE=OE，
∴BE=

1

2

AE，
即BE：EA=1：2；
又∵EC∥AD，
∴BC：CD=BE：EA=1：2．（12分）

點評：掌握切線的判定定理．綜合運用了圓周角定理、等腰直角三角形的性質、等腰三角形的性質、30度的直角三角形的性質得到有關線段之間的關系，熟練運用平行線分線段成比例定理進行求解．