Question

設P是邊長為1的正△ABC內任一點，L=PA+PB+PC，求證：≤L＜2．

Answer 1

【答案】分析：只要AP，PE，EF在一條直線上，可得最小L=；過P點作BC的平行線交AB，AC于點D，F，可得AD＞AP①，BD+DP＞BP②，PF+FC＞PC③，DF=AF④，從而得出結論．
解答：證明：（1）順時針旋轉△BPC60°，可得△PBE為等邊三角形．
即得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF′最小，只要AP，PE，EF′在一條直線上，
即如下圖：可得最小L=；

（2）過P點作BC的平行線交AB，AC于點D，F．
由于∠APD＞∠AFP=∠ADP，
推出AD＞AP             ①
又∵BD+DP＞BP            ②
和PF+FC＞PC             ③
又∵DF=AF              ④
由①②③④可得：最大L＜2；
由（1）和（2）即得：≤L＜2．
點評：綜合考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質和三角形三邊關系，分別找到最小和最大L的求法是解題的關鍵．