Question

設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L=PA+PB+PC，求證：≤L＜2．

Answer 1

證明：（1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC60°，可得△PBE為等邊三角形．
即得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF′最小，只要AP，PE，EF′在一條直線上，
即如下圖：可得最小L=；

（2）過(guò)P點(diǎn)作BC的平行線交AB，AC于點(diǎn)D，F(xiàn)．
由于∠APD＞∠AFP=∠ADP，
推出AD＞AP ①
又∵BD+DP＞BP ②
和PF+FC＞PC ③
又∵DF=AF ④
由①②③④可得：最大L＜2；
由（1）和（2）即得：≤L＜2．
分析：只要AP，PE，EF在一條直線上，可得最小L=；過(guò)P點(diǎn)作BC的平行線交AB，AC于點(diǎn)D，F(xiàn)，可得AD＞AP①，BD+DP＞BP②，PF+FC＞PC③，DF=AF④，從而得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，分別找到最小和最大L的求法是解題的關(guān)鍵．