Question

設P是邊長為1的正△ABC內任一點，L=PA+PB+PC，求證：

3

≤L＜2．

Answer 1

證明：（1）順時針旋轉△BPC60°，可得△PBE為等邊三角形．
即得要使PA+PB+PC=AP+PE+EF′最小，只要AP，PE，EF′在一條直線上，
即如下圖：可得最小L=

3

；

（2）過P點作BC的平行線交AB，AC于點D，F．
由于∠APD＞∠AFP=∠ADP，
推出AD＞AP             ①
又∵BD+DP＞BP            ②
和PF+FC＞PC             ③
又∵DF=AF              ④
由①②③④可得：最大L＜2；
由（1）和（2）即得：

3

≤L＜2．