Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是

AD

的中點，弦CE⊥AB于點H，連結AD，分別交CE、BC于點P、Q，連結BD
（1）求證：∠ACH=∠CBD；
（2）求證：P是線段AQ的中點；
（3）若⊙O 的半徑為5，BH=8，求CE的長．

Answer 1

分析：（1）根據垂徑定理得出AB垂直平分CE，推出H為CE中點，弧AC=弧AE，根據圓周角定理推出即可．
（2）根據圓周角定理求出∠ACH=∠CAD，推出AP=CP，求出∠PCQ=∠CQP，推出PC=PQ，即可得出答案．
（3）連接OC，根據勾股定理求出CH，根據垂徑定理求出即可．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CE⊥AB，
∴AB垂直平分CE，
即H為CE中點，弧AC=弧AE
又∵C是

AD

的中點，
∴弧AC=弧CD
∴弧AC=弧CD=弧AE
∴∠ACH=∠CBD；

（2）由（1）知，∠ACH=∠CBD，
又∵∠CAD=∠CBD
∴∠ACH=∠CAD，
∴AP=CP
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠PCQ=90°-∠ACH，∠PQC=∠BQD=90°-∠CBD，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，
即P是線段AQ的中點；

（3）解：連接OC，
∵BH=8，OB=OC=5，
∴OH=3
∴由勾股定理得：CH=

52-32

=4
由（1）知：CH=EH=4，
∴CE=8．

點評：本題考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力．