Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+x+2與x軸交于點A（4，0）與y軸交于點B．點M在線段AB上，其橫坐標為m，PM∥y軸，與拋物線交點為點P，PQ∥x軸，與拋物線交點為點Q

（1）求a的值、并寫出此拋物線頂點的坐標；

（2）求m為何值時，△PMQ為等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣，y＝﹣x2+x+2，頂點（1，）；（2）m=6﹣2或2﹣2

【解析】

（1）將A（4，0）代入拋物線y＝ax2+x+2求出a的值，然后將二次函數的一般式化為頂點式即可求出頂點坐標；

（2）先利用待定系數法求出直線AB的解析式，設P（m，﹣m2+m+2），M（m，m+2），從而求出PM，分兩種情況討論當0＜m≤1時和當1＜m＜4時，分別利用二次函數的對稱性用含m的式子表示出PQ，然后利用PM=PQ列方程即可求出m的值．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+2與x軸交于點A（4，0），

∴16a+×4+2＝0，

解得a＝﹣，

∴此拋物線解析式y＝﹣x2+x+2，

化為頂點式y＝﹣（x-1）2+

∴頂點坐標為（1，）．

（2）∵y＝﹣x2+x+2，

∴B（0，2），

∵A（4，0），

設直線AB的解析式為y＝kx+b

將A、B兩點坐標代入，得

解得：

∴直線AB：y＝x+2，

設P（m，﹣m2+m+2），M（m，m+2），

∴PM＝，

∵PM∥y軸，PQ∥x軸

∴PM⊥PQ

當0＜m≤1時，PQ＝2﹣2m，

∴＝2﹣2m，

解得m＝6﹣2或6+2（不符合題意舍去）；

當1＜m＜4時，PQ＝﹣2+2m，

∴＝﹣2+2m，

解得m＝2﹣2或﹣2﹣2（不符合題意舍去）．

綜上，m為6﹣2或2﹣2時，△PMQ為等腰直角三角形．