Question

如圖，已知點C、D在以O為圓心，AB為直徑的半圓上，且OC⊥BD于點M，CF⊥AB于點F交BD于點E，BD=8，CM=2．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：CE=BE．

Answer 1

【答案】分析：（1）可在Rt△OBM中，用半徑表示出OM，然后根據勾股定理求出半徑的長；
（2）可連接BC，證∠EBC=∠ECB即可；已知的條件是由垂徑定理得出的，可有兩種證法：
①連接AC，易證得∠CAB=∠BCF，然后根據上面得出的等弧，通過等量代換得出結論；
②將半圓補全，直接由垂徑定理求出結果．
解答：（1）解：∵OC為⊙O的半徑，OC⊥BD，
∴；
∵DB=8，∴MB=4（1分）
設⊙O的半徑為r，∵CM=2，∴OM=r-2，
在Rt△OMB中，根據勾股定理得（r-2）²+4²=r²，
解得r=5；（2分）

（2）證明：
方法一：連接AC、CB，
∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．
∴∠ACF+∠FCB=90°．
又∵CF⊥AB，∴∠CAF+∠ACF=90°
∴∠FCB=∠CAF（3分）∵OC為⊙O的半徑，OC⊥BD，
∴C是的中點，∴∠CAF=∠CBD．（4分）
∴∠FCB=∠DBC．
∴CE=BE；（5分）

方法二：如圖，連接BC，補全⊙O，延長CF交⊙O于點G；
又∵CF⊥AB，AB為直徑，
∴=．（3分）
∴OC為⊙O的半徑，OC⊥BD．
∴C是的中點，
∴=．（4分）
∴=．
∴∠FCB=∠DBC．
∴CE=BE．（5分）
點評：此題主要考查了圓周角定理、勾股定理以及垂徑定理的應用．