Question

14．如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB=8，點C是優弧$\widehat{AB}$上一點（不與A、B重合），OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，求cos∠EFB的值．

Answer 1

分析 連接AC，作直徑BH，連接AH，根據垂徑定理和三角形中位線定理得到EF∥AC，根據勾股定理求出AH，根據余弦的定義計算即可．

解答 解：連接AC，作直徑BH，連接AH，
∵OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∴BF=FC，BE=EA，
∴EF∥AC，
∴∠EFB=∠C，
∵BH為直徑，
∴∠HAB=90°，
∴AH=$\sqrt{B{H}^{2}-A{B}^{2}}$=6，
∴cos∠H=$\frac{HA}{BH}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴cos∠EFB=$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查的是垂直定理、圓周角定理、三角形的中位線定理，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關鍵．