Question

已知等邊三角形ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB₁為邊作等邊三角形，得到第一個等邊三角形AB₁C₁，再以等邊三角形AB₁C₁的B₁C₁邊上的高AB₂為邊作等邊三角形，得到第二個等邊三角形AB₂C₂，再以等邊三角形AB₂C₂的邊B₂C₂邊上的高AB₃為邊作等邊三角形，得到第三個等邊AB₃C₃；…，如此下去，這樣得到的第n個等邊三角形AB_nC_n的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：由AB₁為邊長為2等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B₁為BC的中點，求出BB₁的長，利用勾股定理求出AB₁的長，進而求出第一個等邊三角形AB₁C₁的面積，同理求出第二個等邊三角形AB₂C₂的面積，依此類推，得到第n個等邊三角形AB_nC_n的面積．
解答：解：∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB₁⊥BC，
∴BB₁=1，AB=2，
根據勾股定理得：AB₁=，
∴第一個等邊三角形AB₁C₁的面積為×（）²=（）¹；
∵等邊三角形AB₁C₁的邊長為，AB₂⊥B₁C₁，
∴B₁B2=，AB₁=，
根據勾股定理得：AB₂=，
∴第二個等邊三角形AB₂C₂的面積為×（）²=（）²；
依此類推，第n個等邊三角形AB_nC_n的面積為（）ⁿ．
故答案為：（）ⁿ
點評：此題考查了等邊三角形的性質，屬于規律型試題，熟練掌握等邊三角形的性質是解本題的關鍵．