Question

某商業集團新進了40臺空調機，60臺電冰箱，計劃調配給下屬的甲、乙兩個連鎖店銷售，其中70臺給甲連鎖店，30臺給乙連鎖店．兩個連鎖店銷售這兩種電器每臺的利潤（元）如下表：

	空調機	電冰箱
甲連鎖店	200	170
乙連鎖店	160	150

設集團調配給甲連鎖店x臺空調機，集團賣出這100臺電器的總利潤為y（元）．
（1）求y關于x的函數關系式，并求出x的取值范圍；
（2）為了促銷，集團決定僅對甲連鎖店的空調機每臺讓利a元銷售，其他的銷售利潤不變，并且讓利后每臺空調機的利潤仍然高于甲連鎖店銷售的每臺電冰箱的利潤，問該集團應該如何設計調配方案，使總利潤達到最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）首先設調配給甲連鎖店電冰箱（70-x）臺，調配給乙連鎖店空調機（40-x）臺，電冰箱60-（70-x）=（x-10）臺，列出不等式方程組求解即可；
（2）由（1）可得幾種不同的分配方案；依題意得出y與a的關系式，解出不等式方程后可得出使利潤達到最大的分配方案．
解答：解：（1）由題意可知，調配給甲連鎖店電冰箱（70-x）臺，
調配給乙連鎖店空調機（40-x）臺，電冰箱為60-（70-x）=（x-10）臺，
則y=200x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10），
即y=20x+16800．
∵
∴10≤x≤40．
∴y=20x+16800（10≤x≤40）；

（2）由題意得：y=（200-a）x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10），
即y=（20-a）x+16800．
∵200-a＞170，
∴a＜30．
當0＜a＜20時，20-a＞0，函數y隨x的增大而增大，
故當x=40時，總利潤最大，即調配給甲連鎖店空調機40臺，電冰箱30臺，乙連鎖店空調0臺，電冰箱30臺；
當a=20時，x的取值在10≤x≤40內的所有方案利潤相同；
當20＜a＜30時，20-a＜0，函數y隨x的增大而減小，
故當x=10時，總利潤最大，即調配給甲連鎖店空調機10臺，電冰箱60臺，乙連鎖店空調30臺，電冰箱0臺．
點評：本題考查一元一次不等式組的應用，將現實生活中的事件與數學思想聯系起來，讀懂題意，
（1）根據40臺空調機，60臺電冰箱都能賣完，列出不等式關系式即可求解；
（2）由（1）關系式，結合讓利后每臺空調機的利潤仍然高于甲連鎖店銷售的每臺電冰箱的利潤，列不等式解答，根據a的不同取值范圍，代入利潤關系式解答．