Question

某商業集團新進了40臺空調機，60臺電冰箱，計劃調配給下屬的甲、乙兩個連鎖店銷售，其中70臺給甲連鎖店，30臺給乙連鎖店，兩個連鎖店銷售這兩種電器每臺的利潤（元）如下表：

設集團調配給甲連鎖店x臺空調機，集團賣出這100臺電器的總利潤為y（元）。
（1）求y關于x的函數關系式，并求出x的取值范圍；
（2）為了促銷，集團決定僅對甲連鎖店的空調機每臺讓利a元銷售，其他的銷售利潤不變，并且讓利后每臺空調機的利潤仍然高于甲連鎖店銷售的每臺電冰箱的利潤，問該集團應該如何設計調配方案，使總利潤達到最大？

Answer 1

解：（1）根據題意知，調配給甲連鎖店電冰箱（70-x）臺，
調配給乙連鎖店空調機（40-x）臺，電冰箱（x-10）臺，
則y=200x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10），
即y=20x+16800，
∵，
∴10≤x≤40，
∴關于的函數關系式為y=20x+16800（10≤x≤40）；
（2）按題意知：y=（200-a）x+170（70-x）+160（40-x）+150（x-10），
即y=（20-a）x+16800，
∵200-a＞170，
∴a＜30，
當0＜a＜20時，
∵函數y=（20-a）x+16800隨x增加而增加，
∴x=40時，y最大，
即調配給甲連鎖店空調機40臺，電冰箱30臺，乙連鎖店空調0臺，電冰箱30臺；
當a=20時，
∵函數y=（20-a）x+16800=16800，
即x的取值在10≤x≤40內的所有方案利潤相同；
當20＜a＜30時，
∵函數y=（20-a）x+16800隨x增加而減小，
∴x=10時，y最大，
即調配給甲連鎖店空調機10臺，電冰箱60臺，乙連鎖店空調30臺，電冰箱0臺。