Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，D是AB中點，E為CB上動點（不與C重合），⊙O是過C、D、E三點的圓．
（1）當E、B重合時，在圖1中作出⊙O；
（2）當點E在CB上運動時，求證：∠DFE=∠B，并求出EF的最小值；
（3）在整個過程中求CF的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當E、B重合時，⊙O經過C、D、B三點，分別作CD、BD、CB中任意兩邊的垂直平分線，垂直平分線的交點即為圓心O，然后以OB為半徑作圓即可．
（2）由于D是斜邊AB的中點，所以CD=BD，即∠DCB=∠B，聯立由圓周角得到的∠DFE=∠DCB即可得證；過D作直徑DG，連接CG，在Rt△DCG中，直徑DG（即EF）≥CD，因此當EF最小時，EF=CD，由此求得EF的最小值．
（3）由與O是△CDE三邊中垂線的交點，因此點O在CD的垂直平分線上運動，設CD中垂線與AC交于M，當E點向上運動時，CE的垂直平分線與CD垂直平分線的交點O無限接近M點，因此此題應考慮兩種情況：
①E、B重合時，此時CF值最小，由圓周角定理知DF⊥AB，易證得△ADF∽△ACB，根據相似三角形得到的比例線段即可求得AF的長，進而可求得CF的值．
②求CM的長，連接DM，由于M在CD的中垂線上，所以CM=DM，即∠DCM=∠MDC=∠A，由此可證得△CDM∽△CDA，即可求得CM的值；
綜合上述兩種情況，那么CF的取值范圍應該是：大于等于①中CF的值，而小于②的2CM的長．
解答：解：（1）如圖，⊙O即為所求作的圓．

（2）①證明：∵D是Rt△ABC的中點，
∴DC=DB，即∠DCB=∠B；
∵∠DCB=∠DFE，
∴∠DFE=∠B；
②過D作直徑DG，連接CG；
在Rt△DCG中，DG≥CD；
由于EF=DG，故EF≥CD，所以EF最小時，EF=CD，
在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，易求得AB=10，則CD=AB=5，
即EF的最小值為5．

（3）如（1）題圖，連接DF；
由圓周角定理知：∠BDF=90°，
則△ADF∽△ACB；
∴，即，
∴AF=，CF=8-=；
作CD的垂直平分線直線l，交AC于點M；
連接DM，則CM=DM；
∴∠DCM=∠CDM=∠A；
∴△CDA∽△CMD，
∴CM=CD²÷CA=；
由于OC＜CM，即EF＜2CM=；
由于隨著E點的向上運動，CF的值逐漸增大，因此CF的取值范圍為：
≤CF＜．
點評：此題考查了圓周角定理、勾股定理、直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，綜合性較強，難度較大．