Question

已知△ABC中，BC=6，AC＞AB，點D為AC邊上一點，且DC=AB=4，E為BC邊的中點，連接DE，設AD=x．
（1）當DE⊥BC時（如圖1），連接BD，則BD的長為________；
（2）設，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）取AD的中點M，連接EM并延長交BA的延長線于點P，以A為圓心AM為半徑作⊙A，試問：當AD的長改變時，點P與⊙A的位置關系變化嗎？若不變化，請說明具體的位置關系，并證明你的結論；若變化，請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接BD，
∵DE⊥BC，E為BC邊的中點，
∴BD=CD=4；

（2）連BD，∵點E為BC中點，
∴S_△BDE=S_△CDE，
∴，
∵，
∴，
即
∴（0＜x＜6）；

（3）點P在⊙A上．
證明：取AC中點N，則AN=，
∵M為AD中點，
∴MN=，
∵E為BC中點，
∴NE∥AB，且EN=2，
∴MN=EN，
∵NE∥AB，
∴，
∴AP=AM
∴點P在⊙A上．
分析：（1）利用已知條件即可得到DE是線段BC的垂直平分線，根據垂直平分線的性質即可得到BD的長；
（2）分別表示出兩個三角形的面積，利用它們的面積的比即可得到函數關系式；
（3）得到AP=AM之后即可得到點與圓的位置關系．
點評：本題考查了對點與圓的位置關系的判斷．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內．