Question

如圖，已知點C在線段AB上，以AC和CB為邊，在AB的同側分別作正三角形△AMC和△CNB，連接AN和BM分別交MC、NC于P、G．
（1）求證：△MCB≌△ACN；
（2）猜想PG和AB的位置關系是怎樣的？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△AMC和△CNB都為等邊三角形，可得出AC=MC，CB=CN，且∠ACM=∠MCB=60°，利用等式的性質得到一對角相等，再利用SAS可得出△MCB≌△ACN；
（2）PG和AB的位置關系是垂直，理由為：由△MCB≌△ACN，得到∠ANC=∠MBC，再由∠ACM=∠MCB=60°，利用平角的定義得到∠PCN=∠GCB=60°，再由CN=CB，利用ASA可得出△PCN≌△GCB，利用全等三角形的對應邊相等得到PC=PG，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△PCG為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到∠PGC=60°，進而得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行可得出PG與AB平行，得證．
解答：（1）證明：∵△AMC和△CNB都為等邊三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠MCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠MCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵，
∴△ACN≌△MCB（SAS）；

（2）解：PG∥AB．
證明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
∵∠ACM=∠MCB=60°，
∴∠PCN=∠GCB=60°，
在△PCN和△GCB中，
∵，
∴△PCN≌△GCB（ASA），
∴CP=CG，
∴△PCG為等邊三角形，
∴∠PGC=60°，又∠NCB=60°，
∴∠PGC=∠NCB，
∴PG∥AB．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，以及等邊三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．