Question

已知，函數(shù)y=ax²+x-1（a≠0）的圖象與x軸只有一個公共點
（1）求這個函數(shù)關系式；
（2）如圖1，平行于x軸的直線交拋物線于E、F兩點，若以線段EF為直徑的圓M經(jīng)過點B，求線段MA的長；
（3）如圖2，設二次函數(shù)y=ax²+x-1圖象的頂點為B，與y軸的交點為A，P為圖象上的一點，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點B，求P點的坐標；
（4）在（3）中，若圓與x軸另一交點點關于直線PB的對稱點為D，試探索點D是否在拋物線y=ax²-x-1上，若在拋物線上，求出D點的坐標；若不在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）a≠0，此函數(shù)是二次函數(shù)，可由根的判別式求出a的值，以此確定其解析式；
（2）由拋物線對稱軸為x=2，設滿足條件的圓的半徑為R，點E在對稱軸左側，則E的坐標為（2-R，-R），而E點在拋物線y=-

1

4

x²+x-1上，代入解析式中求出R即可解決問題；
（3）設圓與x軸的另一個交點為C，連接PC，由圓周角定理知PC⊥BC；由于PB是圓的直徑，且AB切圓于B，得PB⊥AB，由此可證得△PBC∽△BAO，根據(jù)兩個相似三角形的對應直角邊成比例，即可得到PC、BC的比例關系，可根據(jù)這個比例關系來設P點的坐標，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點的坐標；
（4）連接CM，設CM與PB的交點為Q，由于C、M關于直線PB對稱，那么PB垂直平分CM，即CQ=QM；過M作MD⊥x軸于D，取CD的中點E，連接QE，則QE是Rt△CMD的中位線；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易證得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它們的正切值都等于

1

2

（在（2）題已經(jīng)求得）；由此可得到CE=2QE=4BE，（2）中已經(jīng)求出了CB的長，根據(jù)CE、BE的比例關系，即可求出BE、CE、QE的長，由此可得到Q點坐標，也就得到M點的坐標，然后將點M代入拋物線的解析式中進行判斷即可．

解答： 解：（1）當a≠0時，△=1+4a=0，a=-

1

4

，此時，圖象與x軸只有一個公共點．
∴函數(shù)的解析式為：y=-

1

4

x²+x-1；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+x-1．
則y=-

1

4

x²+x-1=-

1

4

（x-2）²．點A的坐標是（0，-1）．
∵以線段EF為直徑的圓M經(jīng)過點B，EF∥x軸，
∴點B為拋物線的頂點，
故設⊙M的半徑為R，則E的坐標為（2-R，-R），將其代入y=-

1

4

（x-2）²，得
-R=-

1

4

（2-R-2）²
解得 R=4．
∴點M的坐標是（2，-4）．
∴MA=

22+(-4+1)2

=

13

；

（3）設P為二次函數(shù)圖象上的一點，過點P作PC⊥x軸于點C；
∵y=ax²+x-1是二次函數(shù)，由（1）知該函數(shù)關系式為：
y=-

1

4

x²+x-1，
∴頂點為B（2，0），圖象與y軸的交點坐標為A（0，-1）
∵以PB為直徑的圓與直線AB相切于點B
∴PB⊥AB則∠PBC=∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴

PC

OB

=

BC

AO

，故PC=2BC，
設P點的坐標為（x，y），
∵∠ABO是銳角，∠PBA是直角，
∴∠PBO是鈍角，
∴x＞2
∴BC=x-2，PC=2x-4，
即y=4-2x，P點的坐標為（x，4-2x）
∵點P在二次函數(shù)y=-

1

4

x²+x-1的圖象上，
∴4-2x=-

1

4

x²+x-1
解得：x₁=10，x₂=2
∴P點的坐標為：（10，-16）

（3）點M不在拋物線y=ax²+x+1上
由（2）知：C為圓與x軸的另一交點，連接CM，CM與直線PB的交點為Q，過點M作x軸的垂線，垂足為D，取CD的中點E，連接QE，則CM⊥PB，且CQ=MQ，即QE是中位線．
∴QE∥MD，QE=

1

2

MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x軸
∴∠QCE=∠EQB=∠CPB
∴tan∠QCE=tan∠EQB=tan∠CPB=

1

2

CE=2QE=2×2BE=4BE，又CB=8，
故BE=

8

5

，QE=

16

5

，
∴Q點的坐標為（-

18

5

，

16

5

）
可求得M點的坐標為（

14

5

，

32

5

）
∵

1

4

×（

14

5

）²+

14

5

-1=

4

25

≠

32

5

，
∴C點關于直線PB的對稱點M不在拋物線y=ax²+x-1上．

點評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，軸對稱的性質，三角形中位線定理，解直角三角形的應用等重要知識，需要特別注意的是（1）題所求的是函數(shù)y=ax²+x-1，而沒有明確是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，所以要把兩種情況都考慮到，以免漏解．