Question

如圖1，有一座拋物線型拱橋，漲潮時橋內(nèi)水面寬AB為8米，落潮時水位下降5米，橋內(nèi)水面寬CD為12米．

（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担�并求此拋物線的解析式；
（2）如圖2，某種貨船在水面上的部分的橫截面是梯形EFGH，且HE=FG，EF=HE，∠GHE=45°．試問落潮時，能順利通過拱橋的這種貨船在水面上的部分最大高度是多少？

Answer 1

解：（1）以CD所在的直線為x軸，線段CD的中點為坐標原點，CD的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
∵AB為8米，落潮時水位下降5米，橋內(nèi)水面寬CD為12米．
∴B（4，5），D（6，0）．
拋物線的解析式可設為：y=ax²+c．
由題意得：，
解得，
∴y=-x²+9；

（2）過點作EM⊥HG于點M．
∵∠GHE=45°，∴EM=HM．
設EM=HM=h，則EH=HM，
∴EF=EH=2HM=2h，
∴G（2h，h），
∴h═-（2h）²+9，
解得：h₁=，h₂=（不合題意，舍去）
故落潮時，能順利通過拱橋的這種貨船在水面上的部分最大高度是米．
分析：（1）可以CD所在的直線為x軸，線段CD的中點為坐標原點，CD的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則此拋物線的對稱軸為y軸，故可設拋物線的解析式為：y=ax²+c，再將B（4，5），D（6，0）代入，運用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的解析式；
（2）落潮時，水位在CD，此時EF落在CD上，如圖，過點作EM⊥HG于點M，求出EM即可．設EM=h，則可用含h的代數(shù)式G點的坐標為（2h，h），然后把G點的坐標代入（1）中所求的解析式y(tǒng)=-x²+9中，得到關于h的方程，求解即可．
點評：本題考查了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的應用，難度中等．注意（1）中如果選取不同的坐標系，那么求得的解析式也不同，本問答案不唯一；（2）中設出EM=h，則用含h的代數(shù)式表示G點的坐標是解題的關鍵．