Question

如圖，河上有一座拋物線橋洞，已知橋下的水面離橋拱頂部3m時，水面寬AB為6m，當水位上升0.5m時：
（1）求水面的寬度CD為多少米？
（2）有一艘游船，它的左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，此船正對著橋洞在上述河流中航行．
①若游船寬（指船的最大寬度）為2m，從水面到棚頂的高度為1.8m，問這艘游船能否從橋洞下通過？
②若從水面到棚頂的高度為

7

4

m的游船剛好能從橋洞下通過，則這艘游船的最大寬度是多少米？

Answer 1

分析：（1）根據二次函數的對稱性，CD=C點橫坐標的兩倍，由C點縱坐標為0.5所以需先求解析式后再求對應的橫坐標；
（2）若船寬2米，根據對稱性，對應圖象上的點的橫坐標為1，代入關系式求縱坐標即為距離水面的高度，與1.8比較后得出結論；由題意知最大寬度為第一象限對應點的橫坐標的2倍．

解答：解：（1）設拋物線形橋洞的函數關系式為y=ax²+c，
∵點A（3，0）和E（0，3）在函數圖象上
∴

9a+c=0 c=3

∴

a=- 1 3 c=3

∴y=-

1

3

x2+3
由題意可知，點C和點D的縱坐標為0.5
∴-

1

3

x2+3=0.5
∴x1=

30

2

，x2=

- 30

2

∴CD=

30

2

+

30

2

=

30

（米）；

（2）①當x=1時，y=

8

3

∵

8

3

-0.5＞1.8
∴這艘游船能從橋洞下通過
②當y=

7

4

+0.5=

9

4

時，x1=

3

2

，x2=-

3

2

（不合題意，舍去）．
∴這艘游船的最大寬度是3米．

點評：根據圖象的對稱性解題是本題的核心．