Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點

     E，連接DE并延長DE交BC的延長線于點F．

    （1）求證：BD=BF；

    （2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半徑．

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Answer 1

（1）證明：連接OE，

              ∵AC與圓O相切，

              ∴OE⊥AC，

              ∵BC⊥AC，

              ∴OE∥BC，

              又∵O為DB的中點，

              ∴E為DF的中點，即OE為△DBF的中位線，

              ∴OE=BF，

               又∵OE=BD，

               則BF=BD；

（2）設BC=3x，根據題意得：AB=5x，

     又∵CF=1，

     ∴BF=3x+1，

      由（1）得：BD=BF，

     ∴BD=3x+1，

     ∴OE=OB=，AO=AB﹣OB=5x﹣=，

     ∵OE∥BF，

     ∴∠AOE=∠B，

     ∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，

       解得：x=，

       則圓O的半徑為=．