Question

（2000•湖州）已知a，b，c是正實數，拋物線y=x²-2ax+b²交x軸于M，N兩點，交y軸于點P，其中點M的坐標為（a+c，0）．
（1）求證：b²+c²=a²；
（2）若△NMP的面積是△NOP的面積的3倍，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線y=x²-2ax+b²經過點（a+c，0）．因而把x=a+c，y=0代入就可以得到（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，整理得到b²+c²=a²；
（2）已知拋物線的解析式，就可以求出對稱軸，可求N、P的坐標，從而）．△NMP的面積和△NOP的面積可求，再根據△NMP的面積是△NOP的面積的3倍，可得2c=3|a-c|，即3a=5c，則的值易求．
解答：解：（1）把x=a+c，y=0代入就可以得到（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，
整理得到b²+c²=a²．
（2）拋物線y=x²-2ax+b²的對稱軸是x=a，M，N一定關于對稱軸對稱，
因而N的坐標是（a-c，0）．
拋物線y=x²-2ax+b²中令x=0，
解得y=b²．則P的坐標是（0，b²）．
△NMP的面積是MN×OP=×2C×b²=b²c．
△NOP的面積是×ON×OP=|a-c|×b²．
根據△NMP的面積是△NOP的面積的3倍，
得到b²c=3×|a-c|×b²，
則2c=3|a-c|，
根據b²+c²=a²，a、b、c是正實數，
則a＞c，
因而2c=3（a-c），即3a=5c，
則設a=5k，則c=3k，
根據b²+c²=a²，得到b=4k，
因而的值是．
點評：本題主要考查了函數圖象上的點與函數解析式的關系，函數圖象上的點一定滿足函數解析式．注意數與形的結合是解決本題的關鍵．