Question

如圖，已知⊙O₁和⊙O₂的半徑分別為R、r，連接O₁O₂交⊙O₁于點M、交⊙O₂于點N．將一個直角三角尺的直角頂點C放在直線O₁O₂的上方，讓兩個直角邊所在的直線分別經(jīng)過點M、N，CM交⊙O₁于點A，CN交⊙O₂于點B．
（1）求證：O₁A∥O₂B；
（2）直線AB和直線O₁O₂能否平行？若能夠，試指出什么條件下，AB∥O₁O₂；若不能，試說明理由．
（3）是否存在一點C，使CM•CA=CN•CB？若存在，請說明如何確定點C的位置，并證明你的結論；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先連接O₁A，O₂B，然后得出∠O₁AM=∠O₁MA和∠O₂BN=∠O₂NB，再根據(jù)∠O₁MA+∠O₂NB=90°，∠O₁AM+∠O₂BN=90°，證出∠O₁AB+∠O₂BA=180°，即可求出結果．
（2）本題需先證出四邊形O₁ABO₂為平行四邊形，得出R=r，即可求出結果．
（3）本題需先作兩圓的外公切線AB，然后連接AM、BN交于點C，然后進行證明，即可求出答案．
解答：解：（1）連接O₁A，O₂B，
∵O₁M=O₁A，
∴∠O₁AM=∠O₁MA，
同理∠O₂BN=∠O₂NB，
∵∠C=90°，
∴∠CMN+∠CNM=90°，∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠O₁MA=∠CMN，∠O₂NB=∠CNM，
∴∠O₁MA+∠O₂NB=90°，
∴∠O₁AM+∠O₂BN=90°，
∴∠O₁AB+∠O₂BA=∠O₁AM+∠CAB+∠CBA+∠O₂BN=180°，
∴O₁A∥O₂B；


（2）由（1）知O₁A∥O₂B，若又有AB∥O₁O₂，
則四邊形O₁ABO₂為平行四邊形，
∴O₁A=O₂B，即R=r，
∴R=r時，AB∥O₁O₂；

（3）存在點C．
點C的位置可以這樣確定：
先作兩圓的外公切線AB，然后連接AM、BN交于點C，
理由如下：
∵AB切圓O₁于點A，切圓O₂于點B，
∴O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
∴∠O₁AM+∠CAB=∠O₁AB=90°O₁A∥O₂B，
∴∠O₁+∠O₂=180°，
又∠O₁MA+∠O₁AM+∠O₁=180°，∠O₂NB+∠O₂BN+∠O₂=180°，
∠O₁AM=∠O₁MA，∠O₂BN=∠O₂NB，
∴∠O₁MA+∠O₂NB=90°，
∵∠O₁MA=∠CMN，∠O₂NB=∠CNM，
∴∠CMN+∠CNM=90°，
∴∠C=90°，
∵∠CMN=∠O₁MA=∠O₁AM，
而∠CMN+∠CNM=90°，∠O₁AM+∠CAB=90°，
∴∠CNM=∠CAB，
∴△CNM∽△CAB，
∴，
即CM•CA=CN•CB．
點評：本題主要考查了切線的性質，在解題時要能根據(jù)題意作出輔助線，并靈活應用切線的性質以及相似三角形和平行四邊形的有關知識進行證明是本題的關鍵．