Question

已知拋物線M：y=-x²+2mx+n（m，n為常數，且m＞0，n＞0）的頂點為A，與y軸交于點C；拋物線N與拋物線M關于y軸對稱，其頂點為B，連接AC，BC，AB．
問拋物線M上是否存在點P，使得四邊形ABCP為菱形？如果存在，請求出m的值；如果不存在，請說明理由．
說明：
（1）如果你反復探索，沒有解決問題，請寫出探索過程（要求至少寫3步）；
（2）在你完成（1）之后，可以從①、②中選取一個條件，完成解答（選取①得7分；選取②得10分）．
①n=1；②n=2．

Answer 1

分析：可假設存在這樣的P點，根據四邊形ABCP是菱形，可得出AB=BC=AP，根據拋物線的對稱性可得出AC=AP，因此AC=AP=PC，三角形ACP為等邊三角形，可根據拋物線M的坐標求出A、C的坐標，如果連接CP，過A作x軸的垂線，垂足為D，交CP于E；那么根據C、A的坐標，即可求出CE、AE的長，然后根據∠ACE=60°，用三角函數即可得出關于m的方程，進而可求出m的值．

解答：解：假設拋物線M上存在點P，使得四邊形ABCP為菱形，連接CP，作AD⊥x軸于D，交CP于E，
則AD為拋物線M的對稱軸，且PC=AB=BC=AP
∵由拋物線的對稱性可得AC=AP，
∴AP=PC=AC．
從而△APC為等邊三角形
∴∠ACE=60°
∵由拋物線M配方得，y=-x²+2mx+n=-（x-m）²+m²+n
點A、C的坐標分別為A（m，m²+n）、C（0，n），
∴AE=m²+n-n=m²，CE=m．
在Rt△ACE中，tan60°=

AE

CE

=

m2

m

=

3

∴|m|=

3

∵m＞0
∴m=

3

∴拋物線M上存在點P，使得四邊形ABCP為菱形，此時m=

3

．

點評：本題主要考查了二次函數的性質，軸對稱圖形以及菱形的性質等知識點．根據拋物線的對稱性得出三角形ACP是等邊三角形是解題的關鍵．