Question

【題目】將在同一平面內如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點A旋轉，連接BC，DE．探究S△ABC與S△ADC的比是否為定值．

（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由．（圖①）

（2）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30°角的直角三角板時，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由．（圖②）

（3）兩塊三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n為常數），S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結論，不寫推理過程），如果不是，說明理由．（圖③）

Answer 1

【答案】（1）結論：S△ABC：S△ADE＝1，為定值．理由見解析；（2）S△ABC：S△ADE＝，為定值，理由見解析；（3）S△ABC：S△ADE＝，為定值．理由見解析.

【解析】

（1）結論：S△ABC：S△ADE=定值．如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．首先證明∠DAE=∠CAG，利用三角形的面積公式計算即可．
（2）結論：S△ABC：S△ADE=定值．如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．首先證明∠DAE=∠CAG，利用三角形的面積公式計算即可．
（3）結論：S△ABC：S△ADE=定值．如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．首先證明∠DAE=∠CAG，利用三角形的面積公式計算即可．

（1）結論：S△ABC：S△ADE＝定值．

理由：如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．

∵∠BAE＝∠CAD＝90°，

∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，

∴∠DAE＝∠CAG，

∵AB＝AE＝AD＝AC，

∴1．

（2）如圖2中，S△ABC：S△ADE＝定值．

理由：如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．

不妨設∠ADC＝30°，則ADAC，AE＝AB，

∵∠BAE＝∠CAD＝90°，

∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，

∴∠DAE＝∠CAG，

∴．

（3）如圖3中，如圖2中，S△ABC：S△ADE＝定值．

理由：如圖1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延長線于G．

∵∠BAE＝∠CAD＝90°，

∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，

∴∠DAE＝∠CAG，

∵AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n

∴．