Question

（2009•武漢模擬）如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F為AB的中點，DE，AB相交于點G，若∠BAC=30°，下列結論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正確結論的序號是（ ）

A．②④
B．①③
C．②③④
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：根據已知先判斷△ABC≌△EFA，再得出EF⊥AC，從而得到答案．
解答：解：∵△ACE是等邊三角形
∴∠EAC=60°，AE=AC
∵∠BAC=30°
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC
∵F為AB的中點
∴AB=2AF
∴BC=AF
∴△ABC≌△EFA
∴∠AEF=∠BAC=30°
∴①EF⊥AC（含①的只有B和D，它們的區別在于有沒有④．它們都是含30°的直角三角形，并且斜邊是相等的）
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS）．
故選D．
點評：解決本題需先根據已知條件先判斷出一對全等三角形，然后按排除法來進行選擇．