Question

如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于點F．
（1）找出圖中與全等的三角形，并說明理由；
（2）猜想三條線段PC、PE、PF之間的比例關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據菱形的性質得∠ADP=∠CDP，DA=DC，從而得到△APD與△CPD全等．
（2）根據菱形的對邊互相平行得∠DCF=∠F，再根據（1）題的結論得到∠DCP=∠DAP，從而證得△PAE∽△PFA，然后利用比例線段證得等積式即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠ADP=∠CDP，DC=DA，
∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）∵四邊形ABCD為菱形，
∴∠DCF=∠F，
∵△APD≌△CPD，
∴∠DCP=∠DAP，
∴∠F=∠PAE，
∴△PAE∽△PFA，
∴

PA

PE

=

PF

PA

，
即：PA²=PE•PF，
∵P是菱形ABCD的對角線BD上一點，
∴PA=PC，
∴PC²=PE•PF．

點評：本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定及相似三角形的判定及性質，求解第二問關鍵是證明△PAE∽△PFA，是一道不錯的綜合題，難度一般．