Question

【題目】已知：直線EF分別與直線AB,CD相交于點F,E,EM平分∠FED,AB∥CD，H，P分別為直線AB和線段EF上的點。

(1)如圖1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度數。

(2)如圖2,EN平分∠HEF交AB于點N,NQ⊥EM于點Q,當H在直線AB上運動(不與點F重合)時，探究∠FHE與∠ENQ的關系，并證明你的結論。

Answer 1

【答案】（1）45o （2）∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°2∠ENQ，證明見解析

【解析】

（1）首先作MQ∥AB，根據平行線的性質，推得∠M= （∠FHP+∠HFP）；然后根據HP⊥EF，推得∠FHP+∠HFP=90°，據此求出∠M的度數即可．

（2）①如圖2，首先判斷出∠NEQ=∠NEF+∠QEF=（∠HEF+∠DEF）=∠HED，然后根據NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°-∠HED）=∠CEH，再根據AB∥CD，推得∠FHE=2∠ENQ即可．

②如圖3，首先判斷出∠NEQ=∠QEF-∠NEF=（∠DEF-∠HEF）=∠HED，然后根據NQ⊥EM，可得∠NEQ+∠ENQ=90°，推得∠ENQ=（180°-∠HED）=∠CEH，再根據AB∥CD，推得∠FHE=180°-2∠ENQ即可．

如圖1,作MQ∥AB,

∵AB∥CD,MQ∥AB，

∴MQ∥CD，

∴∠1=∠FHM，∠2=∠DEM，

∴∠1+∠2=∠FHM+∠DEM= (∠FHP+∠FED)= (∠FHP+∠HFP)，

∵HP⊥EF，

∴∠HPF=90°，

∴∠FHP+∠HFP=180°90°=90°，

∵∠1+∠2=∠M，

∴∠M=×90°=45°.

(2)①如圖2,

∠FHE=2∠ENQ，理由如下：

∠NEQ=∠NEF+∠QEF= (∠HEF+∠DEF)= ∠HED，

∵NQ⊥EM，

∴∠NEQ+∠ENQ=90°，

∴∠ENQ= (180°∠HED)= ∠CEH，

∵AB∥CD，

∴∠FHE=∠CEH=2∠ENQ.

②如圖3,

∠FHE=180°2∠ENQ，理由如下：

∠NEQ=∠QEF∠NEF= (∠DEF∠HEF)= ∠HED，

∵NQ⊥EM，

∴∠NEQ+∠ENQ=90°，

∴∠ENQ= (180°∠HED)= ∠CEH，

∵AB∥CD，

∴∠FHE=180°∠CEH=180°2∠ENQ.

綜上，可得當H在直線AB上運動(不與點F重合)時,∠FHE=2∠ENQ或∠FHE=180°2∠ENQ.