Question

如圖所示，AB上有一點C，分別以AC、BC為邊在AB同一側作等邊三角形ACD和△CBE，連接AE、BD，分別交CD、CE于P、Q兩點．求證：△CPQ是等邊三角形．

Answer 1

分析：先根據等邊三角形的每一個角都是60°，根據同位角相等，兩直線平行求出AD∥CE，然后根據平行線分線段成比例定理得到

DP

PC

=

AD

CE

，同理可得CD∥BE，

DQ

QB

=

DC

BE

，再根據等邊三角形的邊長相等，推出

DP

PC

=

DQ

QB

，得到PQ∥AB，根據兩直線平行，內錯角相等得到∠CPQ=∠ACP=∠CQP=∠BCE=60°，∠PCQ=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，從而得出△CPQ是等邊三角形．

解答：證明：∵△ACD和△CBE都是等邊三角形，
∴AD=CD，CE=BE，∠DAC=∠BCE=60°，
∴AD∥CE，
∴

DP

PC

=

AD

CE

，
同理可得，CD∥BE，
∴

DQ

QB

=

DC

BE

，
∴

DP

PC

=

DQ

QB

，
∴PQ∥AB，
∴∠CPQ=∠ACP，∠CQP=∠BCE，
∵等邊三角形的角都是60°，即∠ACD=60°，∠BCE=60°，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
又∠PCQ=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，
∴△CPQ是等邊三角形．

點評：本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行線的性質，等邊三角形的性質與判定，利用等邊三角形的三邊相等與每個角都是60°，進行等量代換是解題的關鍵．