Question

已知直角三角形的兩直角邊長分別為5cm、12cm，則該直角三角形的內切圓的半徑為（　　）cm．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據題意畫出相應的圖形，如圖所示，由兩直角邊的長，利用勾股定理求出斜邊AC的長，由圓O為三角形的內切圓，得到三角形三邊與圓O相切，切點分別為D，E，F，連接圓心與各個切點，根據切線的性質得到OD與AB垂直，OF與BC垂直，又∠B為直角，可得四邊形ODBF為矩形，又兩半徑OD=OF，可得此矩形為正方形，根據正方形的性質得到四條邊相等，設出圓的半徑為r，根據AD與AE為圓的兩條切線，根據切線長定理得到AD=AE=12-r，同理可得出CE=CF=5-r，進而得到AC=AE+EC=AD+CF，列出關于r的方程，求出方程的解可得出r的值．

解答：
解：∵直角三角形的兩直角邊長BC=5cm，AC=12cm，
∴根據勾股定理得到直角三角形的斜邊AC=

52+122

=13cm，
又圓O為三角形的內切圓，D，E，F分別為切點，連接OD，OE，OF，
∴OD⊥AB，OF⊥BC，
∴∠ODB=∠B=∠OFB=90°，
∴四邊形OFBD為矩形，又OD=OF，
∴四邊形OFBD為正方形，
∴OD=DB=BF=OF，
又AD，AE為圓O的兩條切線，
∴AD=AE，
同理CE=CF，BD=BF，
設圓O的半徑為rcm，則有BD=BF=rcm，
∴CF=CE=（5-r）cm，AD=AE=（12-r）cm，
又AC=AE+EC=AD+CF=12-r+5-r=17-2r=13，
解得：r=2，
則該直角三角形的內切圓的半徑為2cm．
故選B．

點評：此題考查了三角形的內切圓與內心，涉及的知識有：勾股定理，正方形的判定與性質，切線長定理，利用了方程及轉化的思想，本題的關鍵是根據題意畫出相應的圖形，添加合適的輔助線，設出未知數，建立方程來解決問題．