Question

學習過三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．類似的，也可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sad A=．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．
根據上述對角的正對定義，解下列問題：
（1）填空：sad60°=______，sad90°=______，sad120°=______；
（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是______；
（3）如圖，已知，其中A為銳角，試求sadA的值；
（4）設sinA=k，請直接用k的代數式表示sadA的值為______．

Answer 1

解：（1）1；；；

（2）0＜sadA＜2；

（3）過B作BD⊥AC于D，如圖，
∴sinA==，
設BD=3x，AB=5x，
∴AD==4x，
∴DC=5x-4x=x，
在Rt△BDC中，BC===x，
∴sadA==；

（4）如上圖，
sinA=k，BD=kAB，
∴AD==AB，
∴DC=AC-AD=（1-）AB，
∴BC==AB，
∴sadA==．
故答案為．
分析：（1）當A=60°，三角形為等邊三角形，底邊與腰相等；當A=90°，三角形為等腰直角三角形，底邊是腰的倍；當A=120°，作底邊上的高，底角為30°，易求得底邊是腰的倍，然后根據等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）即可得到答案；
（2）0°＜A＜180°，根據三角形三邊的關系得到兩腰之和大于底邊即可得到0＜sadA＜2；
（3）過B作BD⊥AC于D，設BD=3x，AB=5x，利用勾股定理計算出AD=4x，則DC=x，在Rt△BDC中根據勾股定理求出BC，然后根據頂角的正對定義求值即可；
（4）與（3）的計算方法一樣．
點評：本題考查了解直角三角形：利用三角函數的定義和勾股定理求出三角形中未知的角和邊．