Question

如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于點E，交BA的延長線于點F．
（1）求證：PC²=PE•PF；
（2）若菱形邊長為8，PE=2，EF=6，求FB的長．

Answer 1

分析：（1）可由相似三角形△AEP∽△FAP對應邊成比例進行求解，也可由平行線分線段成比例定理進行求解，兩者均可；
（2）由題中已知線段的長度，結合（1）中的結論，再由平行線分線段成比例，即可得出結論．

解答：（1）證明：
法1：∵四邊形ABCD是菱形，∴DC=DA，∠ADP=∠CDP，DC∥AB，
又∵DP是公共邊，∴△DAP≌△DCP，
∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，
由DC∥FA得，∠F=∠DCP，
∴∠F=∠DAP，又∵∠EPA=∠APF
∴△AEP∽△FAP，
∴PA²=PE•PF
∴PC²=PE•PF．
法2：∵四邊形ABCD是菱形
∴DC∥AB，AD∥BC（1分）
∴

PC

PF

=

DP

PB

，

DP

PB

=

PE

PC

（4分）
∴

PC

PF

=

PE

PC

∴PC²=PE•PF．
（2）解：∵PE=2，EF=6，∴PF=8，
∵PC²=PE•PF，∴PC²=16∴PC=4，
∵DC∥FB
∴

FB

DC

=

PF

PC

，
又DC=8，∴

FB

8

=

8

4

∴FB=16．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質以及菱形的性質和相似三角形的判定及性質問題，能夠熟練掌握．