Question

設a，b，c是△ABC的三邊長，關于x的方程x2+2

b

x+2c-a=0有兩個相等的實數根，方程3cx+2b=2a的根為0．
（1）求證：△ABC為等邊三角形；
（2）若a，b為方程x²+mx-3m=0的兩根，求m的值．

Answer 1

分析：（1）由方程x²+2

b

x+2c-a=0有兩個相等的實數根，根據判別式可得（2

b

）²-4（2c-a）=0，即可求得b+a=2c，又由方程3cx+2b=2a的根為0，可得a=b，則可證得a=b=c，即可得△ABC為等邊三角形；
（2）由（1）a=b，可得判別式m²-4×（-3m）=0，即可求得m的值，又由a，b，c是△ABC的三邊長，可得m≠0，即可得m=-12．

解答：（1）證明：∵方程x²+2

b

x+2c-a=0有兩個相等的實數根，
∴（2

b

）²-4（2c-a）=0，（1分）
∴b+a=2c，（1分）
∵方程3cx+2b=2a的根為0，
∴b=a，（1分）
∴b=a=c，
∴△ABC為等邊三角形；                （1分）

（2）解：∵a，b為方程 x²+mx-3m=0的兩根，
又∵由（1）a=b，（1分）
∴m²-4×（-3m）=0，（2分）
∴m₁=0，m₂=-12．（1分）
∵a，b，c是△ABC的三邊長，
∴a＞0，
∴m=-12．

點評：此題考查了根的判別式、方程的解、等邊三角形的判定以及一元二次方程的求解方法．此題難度適中，解題的關鍵是注意一元二次方程根的判別式的應用．