Question

如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，設CD=a，BD=b，AB=c．
（1）猜想a，b，c之間的數量關系，并說明理由；
（2）請你根據問題（1）提出一個問題，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由角平分線的定義不難得出△ABC∽△BCD，進而對應邊成比例，求出a，b，c之間的數量關系；
（2）可提點D是AC的黃金分割點．

解答：解：（1）猜想b²=ac，其理由是：（2分）
在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°． （3分）
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=

1

2

∠ABC=36°=∠A．
∴∠BDC=∠C=72°． BC=BD=AD=b．
∴△ABC∽△BCD，
∴

AB

BC

=

BC

CD

即

c

b

=

b

a

，∴b²=ac． （5分）

（2）點D是AC的黃金分割點，其理由是：（7分）
∵b²=ac
∴AD²=CD•AC．
又∵點D在AC上
∴點D是AC的黃金分割點． （8分）

點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質和角平分線的性質．