Question

【題目】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，連接AE，BD交于點O，AE與DC交于點M，BD與AC交于點N．

(1)如圖1，猜想AE與BD的數量關系與位置關系，并加以證明.

(2)如圖2，若AC=DC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四對全等的直角三角形．

Answer 1

【答案】(1)AE=BD，AE⊥BD；(2)△ACB≌△DCE；△EMC≌△BNC；△AON≌△DOM；△AOB≌△DOE

【解析】

（1）根據全等三角形的性質即可求證△ACE≌△BCD，從而可知AE=BD、AE⊥BD；

（2）根據條件即可判斷圖中的全等直角三角形；

解：(1)AE=BD，AE⊥BD.

理由如下：

∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，

∠ACB=∠DCE=90°，

∴AC=BC，DC=EC，

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE

在△ACE與△BCD中，

∴△ACE≌△BCD(SAS)

∴AE=BD,∠BDC=∠AEC

又∵在△DOM與△CME中,∠DMA=∠CME

∴∠DOM=∠MCE=90°

∴AE⊥BD

(2) ∵AC=DC，

∴AC=CD=EC=CB，∠ACB=∠DCE

△ACB≌△DCE(SAS)；

由(1)可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC

∴∠DOM=90°，

∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，

∴△EMC≌△BNC(ASA)，

∴CM=CN，

∴DM=AN，

△AON≌△DOM(AAS)，

∵DE=AB，AO=DO，

∴△AOB≌△DOE(HL)