Question

如圖，△ABC的高CF、BG相交于點H，分別延長CF、BG與△ABC的外接圓交于D、E兩點，則下列結論：①AD=AE；②AH=AE；③若DE為△ABC的外接圓的直徑，則BC=AE．其中正確的是（ ）

A．只有①
B．只有①②
C．只有②③
D．①②③都是

Answer 1

【答案】分析：①△ABC的高CF、BG相交于點H，根據同角的余角相等，即可求得∠ABG=∠ACF，即可得AD=AE；
②首先延長AH交BC于M點，由H是垂心，根據同角的余角相等，即可得∠ACB=∠AHE，則可證得∠AHE=∠AEB，根據等角對等邊的性質，即可得AH=AE；
③由①②，易得△AHG≌△AEG，△ADF≌△AHF，又由DE為△ABC的外接圓的直徑，易求得∠ADE=∠BAC=45°，則可得BC=AE．
解答：解：①∵CF、BG是△ABC的高，
∴∠AGB=∠AFC=90°，
∴∠BAC+∠ABG=90°，∠BAC+∠ACF=90°，
∴∠ABG=∠ACF，
∴=，
∴AD=AE；
故①正確；
②延長AH交BC于M點，
∵H是垂心，
∴AM⊥BC，
∴在△AMC和△AGH中，∠AHG+∠MAC=90°，∠ACM+∠MAC=90°，
∴∠ACB=∠AHE，
∵∠ACB=∠AEB，
∴∠AHE=∠AEB，
∴AE=AH；
故②正確；
③由①②可知AD=AE=AH，
∴△AHG≌△AEG，△ADF≌△AHF，
∴∠DAF=∠HAF，∠EAG=∠HAG，
∴∠BAC=∠DAE，
∵當DE為直徑時，∠DAE=90°，
∴∠BAC=45°，
∵在Rt△ADE，AD=AE，
∴∠ADE=45°，
∴AE=BC．
故③正確．
故選D．
點評：此題考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是掌握數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．