有一張矩形紙片ABCD，AB= $數學公式$ ，AD= $數學公式$ ，將紙片折疊，使點D落在AB邊上的D′處，折痕為AE，再將△AD′E以D′E為折痕向右折疊，使點A落在點A′處，設A′E與BC交于點F（如圖），則A′F的長為

A.
$數學公式$
B.
$數學公式$
C.
$數學公式$
D.
$數學公式$

D
分析：利用折疊的性質，即可求得AD=AD′=A′D′= $\text{[math]}$ 、BD′=AB-AD= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，A′E=AE= $\text{[math]}$ AD=2，又由相似三角形的對應邊成比例，即可求得EF：A′F=EC：A′B，從而求得A′F的長度．
解答：

解：根據折疊的性質知，AD=AD′=A′D′= $\text{[math]}$ 、CE=CD-DE= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，．
∵CE∥A′B，
∴△ECF∽△A′BF，
∴CE：BA′=EF：A′F（相似三角形的對應邊成比例）；
又∵CE=CD-DE= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，BA′=AD-CE=2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
而A′E=AE= $\text{[math]}$ AD=2，
∴A′F=4- $\text{[math]}$ ．
故選D．
點評：本題考查了翻折變換及正方形的性質，利用了折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等及正方形的性質，平行線的性質，有一定的難度．

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A、1

B、2

C、3

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(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4

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如圖1，已知有一張三角形紙片ABC的一邊AB=10，若D為AB邊上的點，過點D作DE//BC交AC于點E，分別過點D、E作DF⊥BC，EG⊥BC，垂足分別為點F、點G，把三角形紙片ABC分別沿DE、DF、EG按圖1方式折疊，點A、B、C分別落在A´、B´、C´處．若A´、B´、C´在矩形DFGE內或者其邊上，且互不重合，此時我們稱△A´B´C´（即圖中陰影部分）為“重疊三角形”．

（1）實驗操作：當AD=4時，①若∠A=90°，AB=AC，請在圖2中畫出“重疊三角形”，= ；
②若AB=AC，BC=12，如圖3，= ；③若∠B=30°，∠C=45°，如圖4，= ；
（2）實驗探究：若△ABC為等邊三角形（如圖5），設AD的長為m，若重疊三角形A´B´C´存在，試用含m的代數式表示重疊三角形A´B´C´的面積，并寫出m的取值范圍．