Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線y＝ax²＋bx－3（a≠0）交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為5．點P是直線AB下方的拋物線上的一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設點P的橫坐標為m．
①用含m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；
②連結PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積比為1:2．若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）①；；②0或3.

試題分析：（1）在y=x+1中，當y=0時，x=-1；當y=5時，x=4，依此可得A與B的坐標；將A與B坐標代入拋物線解析式求出a與b的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）①設直線AB與y軸交于點E，由CP與y軸平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE與OA的長，得出sin∠AEO的值，即為sin∠ACP的值，由P的橫坐標為m，分別代入直線與拋物線解析式得到兩個縱坐標之差為PC的長，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函數的性質求出PD的最大值即可；
②存在，過D作DF⊥CP，過B作BG⊥PQ，交PC延長線與點Q，表示出DF與BG，進而表示出三角形DCP面積與三角形BCP面積，根據面積之比為1：2列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．
試題解析：（1）在中，當y=0時，x=-1；當y=5時，x=4．
∴A(-1，0)、B(4，5) .
將A(-1，0)、B(4，5)分別代入y＝ax²＋bx－3中，得
，解得．
∴所求解析式為.
（2）①設直線AB交y軸于點E，求得E（0，1），∴OA=OE，∠AEO=45°,∠ACP=∠AEO="45°,"
∴． 
設，則，
∴．
∴．
∴PD的最大值為．
②當m=0或m=3時，PC把△PDB分成兩個三角形的面積比為1:2．
如圖，過D作DF⊥CP，過B作BG⊥PQ，交PC延長線與點Q，
∵sin∠ACP=，∴cos∠ACP=.
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=.
又∵BG=4-m，
∴.
當時，解得：m=0；
當 2時，解得：m=3．
故當m=0或m=3時，PC把△PDB分成兩個三角形的面積比為1：2．