Question

如圖，△ABC是等邊三角形，D為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到E，使BE=CD，連接DE交BC于F．
（1）DF=EF；
（2）若△ABC的邊長(zhǎng)為a，BE的長(zhǎng)為b，且a、b滿足a²+b²-10a-6b+34=0，求BF的長(zhǎng)；
（3）若△ABC的邊長(zhǎng)為5，設(shè)CD=x，BF=y，求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)證得，過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交BC于G，很顯然△CDG也是個(gè)等邊三角形，CD=DG，那么本題的關(guān)鍵就是證△CDG和△FBE全等．已知的條件有CD=DB=BE，一組對(duì)頂角，又根據(jù)DG∥BE可得出∠E=∠GDF，由此就湊齊了兩三角形全等的所有條件，因此兩三角形全等，DF=BF；
（2）根據(jù)（1）可知BF=GF，那么得出BC和CG的長(zhǎng)就是關(guān)鍵，CG=CD=BE，所以求出BE和三角形ABC的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵，也就是求出a，b的值，可根據(jù)題中給出的方程來(lái)求出a，b的值；
（3）根據(jù)（1）得出的結(jié)論，我們知道：CG=CD，BF=GF，因此AB=2BF+CG，可根據(jù)此關(guān)系來(lái)得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AB交BC于G，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
又∵DG∥AB，
∴∠CDG=∠CGD=60°，
∠GDF=∠E，
∴△CDG也是等邊三角形，
∴DG=CD=BE，
在△DGF和△EBF中，

∠GDF=∠E ∠DFG=∠EFB DG=BE

∴△DGF≌△EBF（AAS），
∴DF=EF；

（2）解：由a²+b²-10a-6b+34=0，得（a-5）²+（b-3）²=0，
∵（a-5）²≥0，（b-3）²≥0，
∴（a-5）²=0，（b-3）²=0，
∴a=5，b=3，即：BC=5，CG=BE=3，
又∵△DGF≌△EBF，
∴BF=GF，
∴BF=

1

2

BG=

1

2

（BC-CG）=

1

2

（5-3）=1；

（3）解：∵CD=x，BF=y，BC=5，
又∵BF=

1

2

（BC-CG）=

1

2

（BC-CD）=

1

2

（5-x），
∴y=-

1

2

x+

5

2

為所求的解析式，
∵點(diǎn)D直線直線AC上，
∴自變量x的取值范圍是0＜x＜5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)建全等三角形得出線段相等是本題解題的關(guān)鍵．