Question

將?ABCD紙片沿EF折疊，使點C與點A重合，點D落在點G處（如圖）．
（1）求證：△ABE≌△AGF．
（2）連接AC，若?ABCD的面積等于16，

EC

BC

=x，AC•EF=y，試求y與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的性質，可得AB=CD，∠BAC=∠BCD，根據折疊的性質，可得AG=CD，∠EAG=∠BCD，所以AB=AG，∠BAD=∠EAG，由等量代換可得∠BAE=∠GAF，得到AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，得到∠BEA=∠EAF=∠GFA，所以△ABE≌△AGF（AAS）；
（2）由已知可證得四邊形AECF是菱形，根據菱形的面積求解方法（對角線積的一半），可求得y=32x．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠BAD=∠BCD，
又根據題意得：AG=CD，∠EAG=∠BCD，
∴AB=AG，∠BAD=∠EAG，
∴∠BAE=∠GAF，（1分）
又∵AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，
∴∠BEA=∠EAF=∠GFA，
∴△ABE≌△AGF（AAS）；

（2）解：連接CF，
由（1）得：EC=AE=AF，而AF∥EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴?AECF是菱形，
∴y=AC•EF=2×菱形AECF的面積，
又∵?ABCD的面積等于16，
∴S_△ABC=8，
∵

EC

BC

=x，

S△AEC

S△ABC

=

EC

BC

，
∴△AEC的面積等于8x，
∴菱形AECF的面積等于16x，
∴y=32x．
說明：不必寫出x的取值范圍，解法不同時請參考給分．

點評：此題是折疊問題，是中考中的常見題目．解此題首先要注意折疊前后的部分全等，即對應角與對應邊都相等．解此題還要注意平行四邊形的性質與菱形的面積的求解方法．