Question

如圖△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中點，點P從B出發，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA勻速向點A運動，點Q同時以1厘米/秒的速度從D出發，沿DB勻速向點B運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設它們運動的時間為t秒．
（1）若a=2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
（2）設點M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形．
①若a=，求PQ的長；
②是否存在實數a，使得點P在∠ACB的平分線上？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中點，根據等腰三角形三線合一的性質，即可求得BD與CD的長，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得t的值；
（2）①首先過點P作PE⊥BC于E，由四邊形PQCM為平行四邊形，易證得PB=PQ，又由平行線分線段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；
②首先假設存在點P在∠ACB的平分線上，由四邊形PQCM為平行四邊形，可得四邊形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：AB，及可得方程組，解此方程組求得t值為負，故可得不存在．
解答：解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中點，
∴BD=CD=BC=6cm，
∵a=2，
∴BP=2tcm，DQ=tcm，
∴BQ=BD-QD=6-t（cm），
∵△BPQ∽△BDA，
∴，
即，
解得：t=；

（2）①過點P作PE⊥BC于E，
∵四邊形PQCM為平行四邊形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，
∴PB=CM，
∴PB=PQ，
∴BE=BQ=（6-t）cm，
∵a=，
∴PB=tcm，
∵AD⊥BC，
∴PE∥AD，
∴PB：AB=BE：BD，
即，
解得：t=，
∴PQ=PB=t=（cm）；

②不存在．理由如下：
∵四邊形PQCM為平行四邊形，
∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM，
∴PB：AB=CM：AC，
∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ．
若點P在∠ACB的平分線上，則∠PCQ=∠PCM，
∵PM∥CQ，
∴∠PCQ=∠CPM，
∴∠CPM=∠PCM，
∴PM=CM，
∴四邊形PQCM是菱形，
∴PQ=CQ，PM∥CQ，
∴PB=CQ，PM：BC=AP：AB，
∵PB=atcm，CQ=CD+QD=6+t（cm），
∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm），
，
化簡得②：6at+5t=30③，
把①代入③得，t=-，
∴不存在實數a，使得點P在∠ACB的平分線上．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質、菱形的判定與性質以及等腰三角形的性質等知識．此題難度較大，注意數形結合思想與方程思想的應用．