Question

如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm．射線AG∥BC，點E從點A出發沿射線AG以1cm/s的速度運動，同時點F從點B出發沿射線BC以2cm/s的速度運動，設運動時間為t（s）．
（1）連接EF，當EF經過AC邊的中點D時，求證：△ADE≌△CDF；
（2）填空：
①當t為______s時，四邊形ACFE是菱形；
②當t為______s時，以A、F、C、E為頂點的四邊形是直角梯形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得到AD=CD，再由AG與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，利用AAS即可得證；
（2）①若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E運動的時間即可；
②分兩種情況考慮：若CE⊥AG，此時四點構成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF的長度及時間t的值．
解答：（1）證明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D為AC的中點，
∴AD=CD，
∵在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）解：①若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，
則此時的時間t=6÷1=6（s）；
②四邊形AFCE為直角梯形時，
（I）若CE⊥AG，則AE=3，BF=3×2=6，即點F與點C重合，不是直角梯形．
（II）若AF⊥BC，
∵△ABC為等邊三角形，
∴F為BC中點，即BF=3，
∴此時的時間為3÷2=1.5（s）；
點評：此題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，以及直角梯形，弄清題意是解本題的關鍵．