Question

如圖，一個直角三角形紙片的頂點A在∠MON的邊OM上移動，移動過程中始終保持AB⊥ON于點B，AC⊥OM于點A．∠MON的角平分線OP分別交AB、AC于D、E兩點．
（1）點A在移動的過程中，線段AD和AE有怎樣的數量關系，并說明理由．
（2）點A在移動的過程中，若射線ON上始終存在一點F與點A關于OP所在的直線對稱，判斷并說明以A、D、F、E為頂點的四邊形是怎樣特殊的四邊形？
（3）若∠MON=45°，猜想線段AC、AD、OC之間有怎樣的數量關系，只寫出結果即可．不用證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB⊥ON，AC⊥OM，根據兩銳角互余，易證得∠AED=∠ADE，然后根據等角對等邊的性質，即可得AD=AE；
（2）連接DF、EF，由點F與點A關于直線OP對稱，E、D在OP上，可證得AE=FE，AD=FD，又由AD=AE，根據由四條邊都相等的四邊形是菱形，即可得四邊形ADFE是菱形；
（3）由四邊形ADFE是菱形，可得AE=EF=AD，OA=OF，又由∠MON=45°，根據等腰直角三角形的性質，易得OA=AC=OK，則可證得OC=AC+AD．
解答：解：（1）AE=AD．
理由如下：
∵AB⊥ON，AC⊥OM，
∴∠AED=90°-∠MOP，∠ADE=∠ODB=90°-∠PON，
而∠MOP=∠NOP，
∴∠AED=∠ADE．
∴AD=AE．
（2）菱形．
理由：連接DF、EF，
∵點F與點A關于直線OP對稱，E、D在OP上，
∴AE=FE，AD=FD．
由（1）得AE=AD，
∴AE=FE=AD=FD．
∴四邊形ADFE是菱形；
（3）OC=AC+AD．
理由：∵四邊形ADFE是菱形，
∴∠AEO=∠FEO，
∵∠AOE=∠FOE，
∴∠EFO=∠EAO，
∵AC⊥OM，OP平分∠MON，AE=EF，
∴EF⊥OC，
∴∠EFO=90°，
∴AE=EF=AD，OA=OF，
∵∠MON=45°，
∴∠ACO=∠AOC=45°，
∴OA=AC，∠FEC=∠FCE，
∴EF=CF，
∴CF=AE，
∴OC=OF+FC=OA+AE=AC+AD．
點評：此題考查了垂直的定義，菱形的判定，等腰三角形與等腰直角三角形的性質，以及角平分線的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．