Question

（2006•上海）已知點P在線段AB上，點O在線段AB延長線上．以點O為圓心，OP為半徑作圓，點C是圓O上的一點．
（1）如圖，如果AP=2PB，PB=BO．求證：△CAO∽△BCO；
（2）如果AP=m（m是常數，且m＞1），BP=1，OP是OA，OB的比例中項．當點C在圓O上運動時，求AC：BC的值（結果用含m的式子表示）；
（3）在（2）的條件下，討論以BC為半徑的圓B和以CA為半徑的圓C的位置關系，并寫出相應m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據夾角相等，對應邊成比例可證
（2）OP是OA，OB的比例中項，OC=OP，△CAO∽△BCO可得．
（3）討論相交，內切，內含與⊙B與⊙C的圓心距的關系．
解答：（1）證明：∵AP=2PB=PB+BO=PO，
∴AO=2PO．
∴=2．（2分）
∵PO=CO，（1分）
∴．
∵∠COA=∠BOC，
∴△CAO∽△BCO．（1分）

（2）解：設OP=x，則OB=x-1，OA=x+m，
∵OP是OA，OB的比例中項，
∴x²=（x-1）（x+m）．（1分）
∴x=．
即OP=．（1分）
∴OB=．（1分）
∵OP是OA，OB的比例中項，即，
∵OP=OC，
∴．（1分）
設⊙O與線段AB的延長線相交于點Q，當點C與點P，點Q不重合時，
∵∠AOC=∠COB，
∴△CAO∽△BCO．（1分）
∴．（1分）
∴．
當點C與點P或點Q重合時，可得，
∴當點C在圓O上運動時，AC：BC=m．（1分）

（3）解：由（2）得，AC＞BC，且AC-BC=（m-1）BC（m＞1），AC+BC=（m+1）BC，
⊙B和⊙C的圓心距d=BC，
顯然BC＜（m+1）BC，∴⊙B和⊙C的位置關系只可能相交、內切或內含．
當⊙B與⊙C相交時，（m-1）BC＜BC＜（m+1）BC，得0＜m＜2，
∵m＞1，
∴1＜m＜2；（1分）
當⊙B與⊙C內切時，（m-1）BC=BC，得m=2；（1分）
當⊙B與⊙C內含時，BC＜（m-1）BC，得m＞2．（1分）
點評：考查相似三角形的判定和性質，掌握圓與圓的位置的各種情況．