Question

（2006•上海模擬）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC=10，BD=24．求菱形的高AE．

Answer 1

分析：法1：根據菱形的對角線互相垂直平分求出OC、OB的長度，再根據勾股定理求出菱形的邊BC的長，然后求出△AEC和△BOC相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可；
法2：根據菱形的對角線互相垂直平分求出OB、OC的長度，再根據勾股定理求出菱形的邊BC的長，然后利用菱形的面積等于對角線乘積的一半和底乘以高兩種方法列式求解即可．

解答：解：法1：在菱形ABCD中，
∵AC=10，BD=24，
∴OC=

1

2

AC=

1

2

×10=5，OB=

1

2

BD=

1

2

×24=12，
∵AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），
∴BC=

OC2+OB2

=

52+122

=13，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=∠BOC=90°，
又∵∠ACE=∠BCO（菱形的對角線平分一組對角），
∴△AEC∽△BOC，
∴

AE

OB

=

AC

BC

，
即

AE

12

=

10

13

，
解得AE=

120

13

；

法2：在菱形ABCD中，
∵AC=10，BD=24，
∴OC=

1

2

AC=

1

2

×10=5，OB=

1

2

BD=

1

2

×24=12，
∵AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），
∴BC=

OC2+OB2

=

52+122

=13，
∴CD=BC=13，
S_菱形ABCD=CD•AE=

1

2

AC•BD，
即13AE=

1

2

×10×24，
解得AE=

120

13

．

點評：本題考查了菱形的性質，主要涉及到菱形的對角線互相垂直平分，菱形的對角線平分一組對角，以及菱形的面積的求解，熟練掌握并靈活運用菱形的性質是解題的關鍵．