Question

n個正整數a₁，a₂，…，a_n滿足如下條件：1=a₁＜a₂＜…＜a_n=2009；且a₁，a₂，…，a_n中任意n-1個不同的數的算術平均數都是正整數．求n的最大值．

Answer 1

設a₁，a₂，a_n中去掉a_i后剩下的n-1個數的算術平均數為正整數b_i，i=1，2，n．即bi=

(a1+a2++an)-ai

n-1

．
于是，對于任意的1≤i＜j≤n，都有bi-bj=

aj-ai

n-1

，
從而n-1|（a_j-a_i），
由于b1-bn=

an-a1

n-1

=

2008

n-1

是正整數，
故n-1|2³×251，
由于a_n-1=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）²，
所以，（n-1）²≤2008，于是n≤45，
結合n-1|2³×251，所以，n≤9；
另一方面，令a₁=8×0+1，a₂=8×1+1，a₃=8×2+1，a₈=8×7+1，
a₉=8×251+1，則這9個數滿足題設要求．
綜上所述，n的最大值為9．