Question

設n個正整數a₁，a₂，…，a_n，（其中n＞1），如果滿足：

a1+a2+…+an=k 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an =1

，則稱k是一個“好數”．
如：

2+2=4 1 2 + 1 2 =1

，

2+3+6=11 1 2 + 1 3 + 1 6 =1

，

2+4+6+12=24 1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 12 =1

，因此4、11、24這三個數都是一個好數．
（1）請你舉一個“好數”的例子，并說明理由．
（2）如果k是“好數”，2k+2是“好數”嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）30為一個“好數”，理由為：2+3+10+15=30，且

1

2

+

1

3

+

1

10

+

1

15

=1，根據題中的新定義得到30為一個“好數”；
（2）根據“好數”的定義得到2a₁+2a₂+…+2a_n+2=2k+2，

1

2a1

+

1

2a2

+…+

1

2an

+

1

2

=

1

2

+

1

2

=1，依此即可作出判斷．

解答：解：（1）30為一個“好數”，理由為：

2+3+10+15=30 1 2 + 1 3 + 1 10 + 1 15 =1

，
因此30為一個“好數”；

（2）如果k是“好數”，則有：

a1+a2+…+an=k 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an =1

，
則2a₁+2a₂+…+2a_n+2=2k+2，
則

1

2a1

+

1

2a2

+…+

1

2an

+

1

2

=

1

2

+

1

2

=1，
故2k+2也是“好數”．

點評：本題主要考查“好數”的定義，解答本題的關鍵是掌握“好數”的定義的知識，本題（2）中得到2a₁+2a₂+…+2a_n+2=2k+2是本題的難點，此題難度較大．