Question

15、設a₁，a₂，a₃…，a₄₁是任意給定的互不相等的41個正整數．問能否在這41個數中找到6個數，使它們的一個四則運算式的結果（每個數不重復使用）是2002的倍數？如果能，請給出證明；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：首先把2002分解成11×14×13的形式，然后把將a₁，a₂，a₃…a₄₁這41個數分為3組，根據抽屜原理，在第3組數中，必有兩個數被11所除的余數相同，必有兩個數被13所除的余數相同，必有兩個數被14所除的余數相同，最后證明：（a_i-a_j）（a_m-a_n）（a_p-a_q）是2002的倍數．

解答：解：能找到6個數，使它們運算的結果是2002的倍數．
∵2002=2×7×11×13=11×14×13，
將a₁，a₂，a₃…a₄₁這41個數按如下方法分為3組：
第一組12個數：a₁，a₂，a₃…，a₁₂①
第二組14個數：a₁₃，a₁₄，a₁₅…a₂₆②
第三組15個數：a₂₇，a₂₈，a₂₉…a₄₁③
由抽屜原理，在第①組數中，必有兩個數被11所除的余數相同，
不妨設為：a_i，a_j
那么（a_i-a_j）能被11整除，即（a_i-a_j）=11×k_i（k_i為正整數），
同理，在第②組數中，必有兩個數被13所除的余數相同，
不妨設為：a_m，a_n，
那么（a_m-a_n）能被13整除，即（a_m-a_n）=13×k₂（k₂為正整數），
同理，在第③組數中，必有兩個數被14所除的余數相同，
不妨設為：a_p，a_q，
那么（a_p-a_q）能被14整除，即（a_p-a_q）=14×k₃（k₃為正整數），
這樣，由a_i，a_j，a_m，a_n，a_p，a_q組成的一個算式：（a_i-a_j）（a_m-a_n）（a_p-a_q）
=11×k_i×13×k₂×14×k₃
=2002×k_i×k₂×k₃
∵k₁×k₂×k₃是正整數，故
故（a_i-a_j）（a_m-a_n）（a_p-a_q）是2002的整倍數．

點評：本題主要考查抽屜原理和數的整除性的知識點，解答本題的關鍵是能找到6個數，使它們運算的結果是2002的倍數，把2002進行拆分很必要，本題難度較大．