Question

8．如圖，矩形ABCD中，點E．F分別在邊CD．AB上，且DE=BF．∠ECA=∠FCA．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AD=6，AB=8，求菱形AFCE的面積．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再證明FA=FC，根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出結論；
（2）設DE=x，則AE=EC=8-x，在Rt△ADE中，由勾股定理列方程求得x的值，再求菱形的面積即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE=BF，
∴EC=AF，
而EC∥AF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
由DC∥AB可得∠ECA=∠FAC，
∵∠ECA=∠FCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
∴平行四邊形AFCE是菱形；
（2）解：設DE=x，則AE=EC=8-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得
6²+x²=（8-x）²，
解得x=$\frac{7}{4}$，
∴菱形的邊長EC=8-$\frac{7}{4}$=$\frac{25}{4}$，
∴菱形AFCE的面積為：6×$\frac{25}{4}$=$\frac{75}{2}$．

點評 本題考查了矩形的性質、菱形的性質和判定、菱形的面積、勾股定理，第2問中知道矩形的四個角都是直角，確定一個直角三角形，設未知數，根據勾股定理列方程求菱形的邊長．