Question

如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．
（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）當a=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質可得出OC=OD，結合題意即可證得結論；
（2）結合（1）的結論可作出判斷；
（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉及全等的性質即可做出解答．
解答：（1）證明：∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等邊三角形．

（2）解：當α=150°時，△AOD是直角三角形．
理由是：∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，
∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，
∴α-60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠OAD=360°-110°-60°-α=190°-α，
∠AOD==120°-，
∴190°-α=120°-，
解得α=140°．
綜上所述：當α的度數為125°或110°或140°時，△AOD是等腰三角形．
點評：本題以“空間與圖形”中的核心知識（如等邊三角形的性質、全等三角形的性質與證明、直角三角形的判定、多邊形內角和等）為載體，內容由淺入深，層層遞進．試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊含著豐富的思想方法（如運動變化、數形結合、分類討論、方程思想等），能較好地考查學生的推理、探究及解決問題的能力．