Question

如圖所示，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．

（1）求證：∠APB=∠BPH；

（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發生變化？并證明你的結論；

（3）設AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數關系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）不變為定值8，證明見解析（3）當x=2時，S有最小值6

【解析】解：（1）如圖1，

∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。

又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。

（2）△PHD的周長不變為定值8。證明如下：

如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q。

由（1）知∠APB=∠BPH，

又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP（AAS）�！郃P=QP，AB=BQ。

又∵AB=BC，∴BC=BQ。

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）�！郈H=QH。

∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。

（3）如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB。

又∵EF為折痕，∴EF⊥BP。

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°�！唷螮FM=∠ABP。

又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPA（ASA）。

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE中，（4﹣BE）²+x²=BE²，即。

∴。

又∵四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，

∴。

∵，∴當x=2時，S有最小值6。

（1）根據翻折變換的性質得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質得出∠APB=∠PBC即可得出答案。

（2）先由AAS證明△ABP≌△QBP，從而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。

（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，從而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）²+x²=BE²，利用二次函數的最值求出即可。